Задача по математике

Думаю, экс-матшкольникам будет интересно. Все те же “Пятьдесят лет в строю” Игнатьева, описание вступительных экзаменов в Академию Генерального штаба (1899 год):

Я попал сперва к Шарнгорсту. Не удовлетворившись решенной мною задачей по извлечению корня третьей степени, он помучил меня еще и такими вопросами из теории чисел, на которые я отвечал больше по догадке, чем по знанию. Я понял, что программы для этого маленького человека имеют второстепенное значение.

— Переходите к геометрии. Что у вас там? Круг? Вот и отлично.— И вместо столь знакомых мне теорем по учебнику Семашко, на которых зиждилось все преподавание геометрии в корпусе, маленький генерал велел начертить просто круг, потом другой, побольше, и предложил определить центры всех третьих кругов, касающихся первых двух.

Подобных задач на построение в корпусе мы никогда не решали, и в программах о них не упоминалось. Шарнгорсту дела до этого не было, и он заставил меня мучиться у доски добрых два часа. То и дело мне приходилось стирать многочисленные хорды и перпендикуляры.

Доска стала уже сероватой, мундир мой покрылся мелом, горькая обида туманила сознание, а мой мучитель изредка только подходил и приговаривал: «А есть еще случай, вами неразобранный…»

http://militera.lib.ru/memo/russian/ignatyev_aa/07.html

Как бы я решал эту задачу? Скорее всего, обратил бы внимание на то, что задача сводится к нахождению точек, разность расстояний от которых до центров построенных окружностей фиксирована – а дальше ввел бы подходящую систему координат и записал бы в ней уравнение соответствующей гиперболы (и да, надо действительно рассмотреть несколько случаев). Может быть, совсем красиво получится, если перейти к проективной геометрии – но все это фантазии, а некоторая неприятность состоит в том, что – цитирую абзац чуть раньше -

Программа вступительных экзаменов по математике не предусматривала даже аналитической геометрии…

Конечно, аналитическую геометрию многие из поступающих в той или иной степени могли знать – скажем, закончивший кадетский корпус Игнатьев должен был быть знаком с ней – но все же интересно, можно ли сравнительно легко и быстро решить эту задачу “элементарными” методами, не выходя за рамки обычного гимназического учебника Киселева (его можно найти и в электронном, и даже в бумажном виде, в отличие от упомянутого выше Семашко)?

UPD Учебник Франца Ивановича Симашко “Начальная геометрия и конические сечения” (использовавшийся в кадетских корпусах) удалось найти в электронном виде:

http://resolver.gpntb.ru/purl?docushare/dsweb/Get/Resource-4472/Simashko_F_Nachalnaya_geometriya_i_konicheskie_secheniya.pdf

Конические сечения в нем вводятся “честно” – как сечения конуса плоскостью, а не как решения уравнений, и особо подробно не рассматриваются – но утверждения об эллипсе, гиперболе и параболе, как геометрических местах точек все же доказываются. В свете этого задача выглядит не очень сложной для тех, кто действительно готовился по учебнику для кадетских корпусов, поводом поговорить на множество разных тем для тех, кто недочитал до конца последнюю главу (к заявленной в билете теме “Круг” она отношения почти не имеет), и совершенно неподъемной – для тех, кто готовился по “гимназической” программе, в которой конические сечения отсутствовали.

Ответить

Или воспользуйтесь входом по OpenID: