По-моему, почти в каждый курс программирования входит задачка вроде “напишите программу, решающую квадратные уравнения”. Обычно это второе или третье задание после “Hello, world!” – считается, что это хороший способ продемонстрировать нетривиальные инструкции ветвления. “Хорошее” решение сводится к вычислению дискриминанта и в случае, если он неотрицательный – вычислению корней квадратного трехчлена ax2+bx+c по формуле, известной из курса алгебры за седьмой, что ли, класс:
Вот такой вариант решения обычно считается более-менее приемлемым (хотя его можно/нужно обвешать еще несколькими проверками – например, не равен ли коэффициент a нулю?):
int solve(double a, double b, double c, double *x1, double *x2){
double d = b*b - 4.*a*c;
if( d >= 0 ){
d = sqrt(d);
*x1 = (-b + d)/(2.*a);
*x2 = (-b - d)/(2.*a);
return 0;
}
return -1;
}
В чем проблема? На первый взгляд все более-менее хорошо, но… Давайте для тестирования будем подсовывать уравнения с известными корнями – используя для этого теорему Виета. А именно, зафиксируем коэффициент a=1, тогда уравнение с корнями x1 и x2 будет иметь коээффициенты b=-(x1+x2) и c=x1x2. Сравнивая корни, полученные при решении уравнения, с известными нам, оценим “качество” решения.
Если корни “нормальные” – те, с которыми справится шестиклассник – то все хорошо. Но что будет, если взять два “нехороших” корня – к примеру, x1=1, x2=10-14 (это для double; если вы пользуетесь float – то возьмите второй корень, равный 10-5)? Проверьте – не забыв включить вывод максимально возможного количества значащих цифр (в printf лучше всего использовать форматный спецификатор %g, при использовании вывода в стиле C++, через iostream, такой вывод включен по умолчанию). Ошибка при вычислении второго корня возникнет уже в четвертой значащей цифре, это, на самом деле, уже довольно неприлично.
В чем дело? Если обратить внимание на “обычную” формулу для вычисления корней квадратного уравнения, то мы увидим, что при вычислении меньшего корня корень из дискриминанта вычитается из b – а так как они в этом случае очень близки, то возникающая при этом вычислительная ошибка оказывается слишком большой.
Метод, разумеется, можно улучшить. Для начала – можно вспомнить о существовании еще одной формулы для корней квадратного уравнения:
Выводится она абсолютно аналогичным образом, от “классической” отличается тем, что “не работает” при c=0.
Если переписать программу, чтобы она использовала эту формулу – то меньший корень “нехорошего” уравнения будет вычисляться точно, а проблемы возникнут с большим корнем. Причина та же самая – вычитание двух близких по величине чисел. Но ведь если вычислять больший корень по первой формуле, а меньший – по второй, то эта проблема исчезнет! Поэтому более правильный метод решения квадратного уравнения должен выглядеть так:
- вычисляем дискриминант D=b2-4ac
- если дискриминант неотрицателен, то вычисляем
- корни уравнения равны q/a и c/q.
Как реализовать это в программе – довольно очевидно, это особо ее не усложнит.
Какая здесь мораль? Численные методы и программирование – это две совершенно разных области человеческого знания. Математические задачки – вроде решения квадратного уравнения – могут показаться интересными с точки зрения обучения программированию, но это “чужая территория”, и можно столкнуться с совершенно непредсказуемыми вещами. Признайтесь, многие ли слышали о сложностях, возникающих при решении на компьютере квадратных уравнений – хотя казалось бы, что может быть проще?
![[info]](http://stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small}
